Entré à la Comédie-Française en 1957 ; sociétaire en 1960 ; sociétaire honoraire en 1987.

Après avoir suivi les cours de René Simon puis ceux de René Alexandre et d'André Brunot au Conservatoire, François Chaumette ne présente pas les concours de sortie et part rejoindre Jean Vilar au Festival d'Avignon, en 1948, où il jouera dans La Mort de Danton, Richard II, Henri IV de Pirandello. Il travaille également avec Jean-Marie Serreau.

Engagé en 1957 à la Comédie-Française, il peut aborder un répertoire des plus variés, classique ou moderne, voire d'avant-garde : Molière, Racine, Corneille, Voltaire, Marivaux, Beaumarchais, Shakespeare, Musset, Hugo, Sophocle, Schiller, Claudel, Montherlant, Pirandello, Brecht, Giraudoux, Dostoïevski, Anouilh, Strindberg, jusqu'à Obaldia, Artaud, Ionesco et Beckett. Acteur multiple, il mène parallèlement une carrière importante à la télévision. Il participe à la superbe expérience des Perses, est le héros de plusieurs feuilletons, prend part à de nombreuses émissions, des séries La Caméra explore le temps et En votre âme et conscience. En 1978, il incarne l'avocat Labori dans l'émission fleuve réalisée par Stellio Lorenzi sur Zola et l'affaire Dreyfus.

Il est aussi metteur en scène. À la Comédie-Française, il monte un spectacle Pirandello (La Volupté de l'honneur et Un imbécile), Les Gracques de Giraudoux, Nicomède de Corneille et l'Œdipe de Gide. Cinéma, tournées et festivals sont également au programme de ses activités.

Après son départ de la Comédie-Française, il a joué dans Les Caprices de Marianne de Musset, mise en scène de Bernard Murat au Théâtre Montparnasse, La Chute de Camus au Studio des Champs-Élysées. Il effectue également une saison à la Comédie de Saint-Étienne et une saison à la Limousine, où il interprète Le Retour de Casanova de Schnitzler. En mars 1992, il revient avec les Comédiens-Français pour Je rêve (mais peut-être pas) de Pirandello, mise en scène de Didier Besace au Petit Odéon et au Théâtre de l’Aquarium.