Entré à la Comédie-Française en 1776 ; sociétaire en 1778.

Secrétaire du maréchal de Richelieu, Albouy a l'occasion de jouer la comédie sur un « théâtre de société », à la mode du temps. Cette expérience détermine une vocation irrésistible, qui le pousse à s'enfuir et à rejoindre à Bruxelles, d'Hannetaire, célèbre homme de théâtre, qui lui prodigue ses leçons et le fait débuter dans Crispin des Folies amoureuses de Regnard, en 1772. Son succès est tel que les efforts conjugués de d'Hannetaire et du prince de Ligne obtiennent du maréchal de Richelieu le pardon pour le comédien, désormais appelé Dazincourt, et un ordre de début à la Comédie-Française. Il s'y affirme comme un excellent « valet de bonne compagnie » au jeu plein de finesse.
Il a la chance de créer, en 1784, le Figaro du Mariage de Figaro de Beaumarchais, soutenu par Préville, créateur du Barbier de Séville et qui, trop âgé, se contente du rôle secondaire de Bridoison.
Il est choisi pour donner des leçons de comédie à la reine Marie-Antoinette et crée un très grand nombre de rôles de la haute comédie. En 1793, il est incarcéré avec les autres Comédiens français et, libéré à la chute de Robespierre, il rejoint ses camarades au Théâtre Feydeau, puis participe à la réunion du Théâtre-Français en 1799.

Il est, en 1807, lorsque Napoléon réorganise le Conservatoire, l'un des quatre professeurs nommés. Il forme de nombreux élèves, parmi lesquels Mademoiselle Volnais et Rose Dupuis.
Directeur des spectacles de la Cour impériale, il participe, déjà malade, au voyage d'Erfurt. Il meurt l'année suivante à Paris, instituant pour légataire universelle sa compagne de longue date, la comédienne Eulalie Desbrosses.